Bài 3:
Cho đường tròn (O) báng kính R và một dây BC cố định. Goi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AC, kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.
a) Chứng minh góc AMD = góc ABC và MA là tia phân giác của góc BMD.
b) CHứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
c) Tia DA cắt BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.
d) Chứng minh tích P = AE. AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán kính R và góc ABC = a
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm, N thuộc cung BC nhỏ). Gọi H là trung điểm của dây BC. 1) Chứng minh bốn điểm A, M, 0, H cũng thuộc một đường tròn. 2) MN cắt OA tại điểm I. Chứng minh rằng AI. AO= AM²
1) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O,có H là trung điểm BC
\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\) mà \(\angle OMA=90\Rightarrow OMAH\) nội tiếp
2) Ta có: \(\Delta AMO\) vuông tại M có \(AO\bot MI\Rightarrow AM^2=AI.AO\)
1.
Theo giả thiết: \(H\) là trung điểm BC
\(\Rightarrow OH\perp BC\Leftrightarrow\widehat{OHA}=90^o\)
Lại có: \(AM\perp OM\Leftrightarrow\widehat{OMA}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{OHA}+\widehat{OMA}=180^o\)
\(\Rightarrow AMOH\) nội tiếp
Hay \(A,M,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính OA
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB cố định. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C sao cho AC=R. Kẻ đường thẳng d vuông góc với BC tại C. Gọi D là trung điểm của OA, qua D vẽ dây cung EF bất kì của (O;R). Tia BE cắt d tại M, tia BF cắt d tại N.
a) Chứng minh tứ giác MCAE nội tiếp
b) Chứng minh BE.BM = BF.BN
a: Xét (O) có
ΔBEA nội tiếp
BA là đường kính
=>ΔBEA vuông tại E
góc MCA+góc MEA=90+90=180 độ
=>MCAE nội tiếp
b: góc BFA=1/2*sđ cung BA=1/2*180=90 độ
Xét ΔBFA vuông tại F và ΔBCN vuông tai C có
góc B chung
=>ΔBFA đồng dạng với ΔBCN
=>BF/BC=BA/BN
=>BC*BA=BF*BN
Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBCM vuông tại C có
góc EBA chung
=>ΔBEA đồng dạng với ΔBCM
=>BE/BC=BA/BM
=>BC*BA=BE*BM=BF*BN
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH vuông góc với AB tại H. Tia AC cắt HK tại I, tia BC cắt tia HK tại E, AE cắt đường tròn (O) tại F.
A) chứng minh BHFE là tứ giác nội tiếp.
B) chứng minh BI.BF = BC.BE
C) tính diện tích tam giác FEC theo R khi H là trung điểm của OA.
D) cho K di chuyển trên cung nhỏ AC, chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua 1 điểm cố định
cho đường tròn tâm O bán kính 5cm. vẽ dây bc không đi qua tâm. trên tia đối của tia bc lấy điểm m đường thẳng đi m cắt đường tròn (O) tại n và p sao cho O nằm trong góc pmc và n nằm giữa m với p .trên cung nhỏ np lấy a là điểm chính giữa của cung np nơi ab và ac lần lượt cắt np ở d và e. Chứng minh: md.me=mn.mp
Dễ thấy b = 1, d = 2, e = 4 đặt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x
= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2
Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2
Tìm m, n sao cho m.n = - 6x2 và m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta có: Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2
= y(y + 2x) – 3x(y + 2x)
= (y + 2x)(y – 3x)
Do đó: P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách trên.
Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm, N thuộc cung BC nhỏ). Gọi H là trung điểm của dây BC.
1) Chứng minh tứ giác AMON và tứ giác AOHN nội tiếp.
2) MN cắt AO tại điểm I. Chứng minh rằng AI. AO= AM2
cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC<2R) ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB<AC (A khác B). trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED=EC. tia BD cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là F.
a) chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF.
b) gọi H là trực tâm tam giác DEC ; DH cắt BC tại N. đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Về bán kính OC vuông góc tại AB lấy điểm K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH vuông góc với AB tại H. Tia AC cắt HK tại I, tia BC cắt tia HK tại E, AE cắt đường tròn (O) tại F a, CMR: BHEF nội tiếp b,CMR: BI.BF=BC.BE c, Tính S của tam giác FEC theo R khi H là trung điểm của OA d, Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. CMR: đương thẳng FH lươn đi qua 1 điểm cố định
